"Happy New Year"という表現はもともと "I wish you a Happy New Year."=「あなたが幸せな新年を送ることを願っています。」という表現(文)だったのです。そのうち、"I wish you a"の部分が省略され、慣用的な挨拶表現として"Happy New Year"が使われるようになりました。文法的にはaを省略せずに"A Happy New Year"とするのが正しいのですが、慣用表現は文法的な正しさよりも言いやすさや語呂の良さを重視したものが多いのです(ちなみにこういう言いやすさを重視した表現を英語ではSlip off the tongueと言います)。
その結果、"Happy New Year"という表現が広く浸透し、現在では一般的な挨拶として使われています。もちろんきっちりとした"I wish you a Happy New Year."という文を使っても構いません。ただし、"A Happy New Year!"だけだと慣用表現でもなく文でもないので、「幸せな新年!」という文法的には正しいけれど文になっていないもやもやした感じの表現に聞こえます^^;
というわけで、英語で新年の挨拶をする時は、Happy New YearかI wish you a Happy New Year.のどちらかをぜひ使ってみてくださいね。